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谱密度  

2014-06-17 23:17:22|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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    在应用数学物理学中,谱密度功率谱密度能量谱密度是一个用于信号的通用概念,它表示每赫兹的功率、每赫兹的能量这样的物理量纲。
    物理学中,信号通常是波的形式,例如电磁波随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率,这被称为信号的功率谱密度(power spectral density, PSD)或者谱功率分布(spectral power distribution, SPD)。功率谱密度的单位通常用每赫兹瓦特数(W/Hz)表示,或者使用波长而不是频率,即每纳米的瓦特数(W/nm)来表示。

    尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲,下面的讨论中假设信号在时域内变化。

    能量谱密度描述的是信号或者时间序列的能量或者变化如何随着频率分布。如果 f(t) 是一个有限能量信号,即平方可积,那么信号的谱密度 \Phi(\omega) 就是信号连续傅里叶变换幅度的平方。

\Phi(\omega)=\left|\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,dt\right|^2 = \frac{F(\omega)F^*(\omega)}{2\pi}

其中 \omega 是角频率(循环频率的 2\pi 倍),F(\omega) 是 f(t) 的连续傅里叶变换。 F^*(\omega)F(\omega)的共轭函数。

如果信号是离散的 f_n,经过有限的元素之后,仍然得到能量谱密度:

\Phi(\omega)=\left|\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^\infty f_n e^{-i\omega n}\right|^2=\frac{F(\omega)F^*(\omega)}{2\pi}

其中 F(\omega) 是 f_n 的离散时间傅里叶变换。如果所定义的数值个数是有限的,这个序列可以看作是周期性的,使用离散傅里叶变换得到离散频谱,或者用零值进行扩充从而可以作为无限序列的情况计算谱密度。

乘数因子 1/2\pi 经常不是绝对的,它随着不同傅里叶变换定义的归一化常数的不同而不同。

    

功率谱密度

    上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在,也就是说信号平方可积或者平方可加。一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度(PSD),它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率,或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方,也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。此瞬时功率(平均功率的中间值)可表示为: 
P = s(t)^2\ .

    由于平均值不为零的信号不是平方可积的,所以在这种情况下就没有傅里叶变换。幸运的是维纳-辛钦定理Wiener-Khinchin theorem)提供了一个简单的替换方法,如果信号可以看作是平稳随机过程,那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。

    信号的功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程的时候才存在。如果信号不是平稳过程,那么自相关函数一定是两个变量的函数,这样就不存在功率谱密度,但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。

    

  • f(t) 的谱密度和 f(t) 的自相关组成一个傅里叶变换对(对于功率谱密度和能量谱密度来说,使用着不同的自相关函数定义)。
  • 傅里叶分析的结果之一就是Parseval定理Parseval's theorem),这个定理表明能量谱密度曲线下的面积等于信号幅度平方下的面积,总的能量是:
\int_{-\infty}^\infty \left| f(t) \right|^2 dt = \int_{-\infty}^\infty \left| \Phi(\omega) \right|^2 \,d\omega.

    上面的定理在离散情况下也是成立的。另外的一个结论是功率谱密度下总的功率与对应的总的平均信号功率相等,它是逐渐趋近于零的自相关函数。

    

  • 大多数“频率”图实际上仅仅表示了谱密度。有时完整的频率要用两部分来表示,一部分是对应于频率的“幅度”(它就是谱密度),另外一部分是对应于频率的“相位”(它包含了频谱中剩余的其它信息)。信号 f(t) 可以从一个完整的频谱进行恢复。需要注意的是 f(t) 不能仅仅从谱密度这一部分进行恢复——它丢失了“临时信息”。
  • 信号的 谱矩心spectral centroid) 是谱密度函数的中点,也就是说将整个分布切分成两个相等部分的点。
  • 谱密度是频率的函数,而不是时间的函数。但是,也可以计算一个较长信号上一小段“窗口”的谱密度,并且根据与事件相关的窗口进行绘图,这样的图形称为频谱图spectrogram)。这是短时傅里叶变换小波等许多谱分析技术的基础。

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